Задача №1
В языке запросов поискового сервера для обозначения
| Запрос | Найдено страниц (в тысячах) |
| Торты | Пироги | 12000 |
| Торты & Пироги | 6500 |
| Пироги | 7700 |
Торты ?
Решение задачи №1
Для решения задачи отобразим множества Тортов и Пирогов в виде кругов Эйлера.
А , Б , В ).
Из условия задачи следует:
Торты │Пироги = А + Б + В = 12000
Торты & Пироги = Б = 6500
Пироги = Б + В = 7700
Чтобы найти количество Тортов (Торты = А + Б ), надо найти сектор А Торты│Пироги ) отнимем множество Пироги.
Торты│Пироги – Пироги = А + Б + В -(Б + В ) = А = 1200 – 7700 = 4300
Сектор А равен 4300, следовательно
Торты = А + Б = 4300+6500 = 10800
Задача №2
|", а для логической операции "И" - символ "&".
| Запрос | Найдено страниц (в тысячах) |
| Пироженое & Выпечка | 5100 |
| Пироженое | 9700 |
| Пироженое | Выпечка | 14200 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Выпечка ?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов. Решение задачи №2
Для решения задачи отобразим множества Пироженых и Выпечек в виде кругов Эйлера.
Обозначим каждый сектор отдельной буквой (А , Б , В ).
Из условия задачи следует:
Пироженое & Выпечка = Б = 5100
Пироженое = А + Б = 9700
Пироженое │ Выпечка = А + Б + В = 14200
Чтобы найти количество Выпечки (Выпечка = Б + В ), надо найти сектор В , для этого из общего множества (Пироженое │ Выпечка) отнимем множество Пироженое .
Пироженое │ Выпечка – Пироженное = А + Б + В -(А + Б ) = В = 14200–9700 = 4500Сектор В равен 4500, следовательноВыпечка = Б + В = 4300+5100 = 9400
Задача №3
убывания
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
Решение задачи №3
Представим множества овчарок, терьеров и спаниелей в виде кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (
А , Б , В , Г ).с паниели │(терьеры & овчарки) = Г + Б
с паниели│овчарки = Г + Б + В
спаниели│терьеры│овчарки = А + Б + В + Г
терьеры & овчарки = Б
Расположим номера запросов в порядке убывания количества страниц: 3 2 1 4
Задача №4
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания
количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения
логической операции "ИЛИ" используется символ "
|", а для логической операции "И" - символ "&".
Решение задачи №4
Представим множества классицизм, ампир и классицизм в виде
кругов Эйлера, обозначим сектора буквами (А
,
Б
,
В
,
Г
).
Преобразим условие задачи в виде суммы секторов:
барокко│ классицизм │ампир = А + Б + В + Гбарокко │(классицизм & ампир) = Г + Б
классицизм & ампир = Б
барокко│ классицизм = Г + Б + А
Из сумм секторов мы видим какой запрос выдал больше количества страниц.
Расположим номера запросов в порядке возрастания количества страниц: 3 2 4 1
Задача №5 В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Расположите номера запросов в порядке возврастания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
Для обозначения логической операции "ИЛИ" используется символ " |", а для логической операции "И" - символ "&".
Решение задачи №5
Для решения задачи представим запросы в виде кругов Эйлера.
Задача 1 .
Каждый из 35 шестиклассников является читателем, по крайней мере, одной из двух библиотек: школьной и районной. Из них 25 человек берут книги в школьной библиотеке, 20 – в районной.
Сколько шестиклассников:
1. Являются читателями обеих библиотек;
2. Не являются читателями районной библиотеки;
3. Не являются читателями школьной библиотеки;
4. Являются читателями только районной библиотеки;
5. Являются читателями только школьной библиотеки?
Заметим, что первый вопрос является ключевым для понимания и решения данной задачи. Ведь не сразу сообразишь, как получается 20 + 25 = 45 из 35. В первом вопросе звучит подсказка к пониманию условия: есть ученики, которые посещают обе библиотеки. А если условие задачи изобразить на схеме, то ответ на первый вопрос становится очевидным.
Решение.
1. 20 + 25 – 35 = 10 (человек) – являются читателями обеих библиотек. На схеме это общая часть кругов. Мы определили единственную неизвестную нам величину. Теперь, глядя на схему, легко даем ответы на поставленные вопросы.
2. 35 – 20 = 15 (человек) – не являются читателями районной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга)
3. 35 – 25 = 10 (человек) – не являются читателями школьной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)
4. 35 – 25 = 10 (человек) – являются читателями только районной библиотеки. (На схеме правая часть правого круга)
5. 35 – 20 = 15 (человек) – являются читателями только школьной библиотеки. (На схеме левая часть левого круга).
Очевидно, что 2 и 5 , а также 3 и 4 – равнозначны и ответы на них совпадают .
При решении данной задачи мы использовали способ ее графического представления при помощи так называемых кругов Эйлера. Этот способ был предложен Леонардом Эйлером и широко используется при решении логических задач.
Леона́рд Э́йлер
(4(15) апреля 1707, Базель, Швейцария – 7(18) сентября 1783, Санкт-Петербург, Российская империя) – швейцарский, немецкий и 
российский математик, внёсший значительный вклад в развитие математики, а также механики, физики, астрономии и ряда прикладных наук. Некоторые из его потомков до сих пор живут в России.
Рассмотрим еще один пример.
Задача 2.
Часть жителей нашего дома выписывают только газету «Комсомольская правда», часть – только газету «Известия», а часть – и ту, и другую газету. Сколько процентов жителей дома выписывают обе газеты, если на газету «Комсомольская правда» из них подписаны 85%, а на «Известия» – 75%?
Решение.
Здесь нет принципиального отличия от решения предыдущей. На готовом рисунке заменим данные: 25 на 85% и 20 на 75%. Учитывая, что все жители дома составляют 100%, заменяем 35 на 100% и получаем готовое решение: 85% + 75% – 100% = 60%.
Ответ: обе газеты выписывают 60% жителей.
Чем более сложная и запутанная логическая задача, связанная с множествами, тем более очевиден эффект от применения кругов Эйлера. Только после составления рисунка их решение становится достаточно очевидным.
Задача 3.
В трёх седьмых классах 70 ребят. Из них 27 занимаются в драмкружке, 32 поют в хоре, 22 увлекаются спортом. В драмкружке 10 ребят из хора, в хоре 6 спортсменов, в драмкружке 8 спортсменов; 3 спортсмена посещают и драмкружок и хор. Сколько ребят не поют в хоре, не увлекаются спортом и не занимаются в драмкружке? Сколько ребят заняты только спортом?
Решение.
Пусть
Д – драмкружок,
Х – хор,
С – спорт.
Тогда
в круге Д – 27 ребят,
в круге Х – 32 человека,
в круге С – 22 ученика.
Те 10 ребят из драмкружка, которые поют в хоре, окажутся в общей части кругов Д и X. Трое из них ещё и спортсмены, они окажутся в общей части всех трёх кругов. Остальные семеро спортом не увлекаются. Аналогично, 8 – 3 = 5 спортсменов, не поющих в хоре и 6 – 3 = 3, не посещающих драмкружок.
Легко видеть, что 5 + 3 + 3 = 11 спортсменов посещают хор или драмкружок,
22 – (5 + 3 + 3) = 11 занимаются только спортом;
70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – не поют в хоре, не занимаются в драмкружке, не увлекаются спортом.
Ответ: 10 человек и 11 человек.
Задача 4.
В классе 30 человек. 20 из них каждый день пользуются метро, 15 – автобусом, 23 – троллейбусом, 10 – и метро, и троллейбусом, 12 – и метро, и автобусом, 9 – и троллейбусом, и автобусом. Сколько человек ежедневно пользуется всеми тремя видами транспорта?
Решение.
1 способ.
Для решения опять воспользуемся кругами Эйлера. Пусть х человек 
пользуется всеми тремя видами транспорта. Тогда пользуются
только метро и троллейбусом – (10 – х) человек,
только автобусом и троллейбусом – (9 – х) человек,
только метро и автобусом – (12 – х) человек.
Найдем, сколько человек пользуется одним только метро:
20 – (12 – х) – (10 – х) – х = х – 2.
Аналогично получаем: х – 6 – только автобусом и х + 4 – только троллейбусом, так как всего 30 человек, составляем уравнение:
х + (12 – х) + (9 – х) + (10 – х) + (х + 4) + (х – 2) + (х – 6) = 30,
отсюда х = 3.
2 способ. А можно эту задачу решить задачу другим способом: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + х = 30, 27 + х = 30, х = 3 . Здесь сложили количество учеников, которые пользуются хотя бы одним видом транспорта и из полученной суммы вычли количество тех, кто пользуется двумя или тремя видами и, поэтому, вошли в сумму 2-3 раза. Таким образом, получили количество всех учеников в классе.
Ответ. 3 человека ежедневно пользуются всеми тремя видами транспорта.
Остались вопросы? Не знаете, как решить задачу?
Чтобы получить помощь репетитора – зарегистрируйтесь .
Первый урок – бесплатно!
сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.
кругами Эйлера называют фигуры, условно изображающие множества и наглядно иллюстрирующие некоторые свойства операций над множествами. В литературе круги Эйлера иногда называют диаграммами Вен на (или диаграммами Эйлера - Венна). Круги Эйлера, иллюстрирующие основные операции над множествами, представлены на рис. 1.2 (множества, полученные в результате этих операций, отмечены штриховкой). АПВ 00 АЬВ Рис. 1.2 Пример 1.8. При помощи кругов Эйлера установим сначаг ла справедливость первого соотношения, выражающего свойство дистрибутивности операций объединения и пересечения множеств, На рис. 1.3,а вертикально заштрихован круг, изображающий множество А) а горизонтально - область, отвечающая пересечению множеств В и С. В итоге тем или иным способом заштрихована область, изображающая множество A U (БПС). На рис. 1.3,5 вертикально заштрихована область, соответствующая объединению множеств Л и Б, а горизонтально - объединению множеств Л и С, так что обоими способами заштрихована область, изображающая множество (A U В) П (A U С) и совпадающая с областью, заштрихованной каким-либо способом на рис. 1.3,а. Таким образом, круги Эйлера позволяют установить справедливость (1.10). Теперь рассмотрим второй закон де Моргана (1.7) Заштрихованная на рис. 1.4,а область изображает множество ЛИВ, а незаштрихованная часть прямоугольника Q (внешняя по отношению к заштрихованной) соответствует множеству ЛПВ. На рис. 1.4,5 части прямоугольника 12, заштрихованные вертикально и горизонтально, отвечают соответственно А и В. Тогда множеству Ли В отвечает область, заштрихованная хотя бы одним из указанных способов. Она совпадает с областью, не заштрихованной на рис. 1.4,а и отвечающей множеству ЛПБ, что устанавливает справедливость (1.11). Вопросы и задачи 1.1. Запись m|n, где m,n € Z, означает, что число m нацело делит число п (то - делитель п). Описать заданные множества при условии, что х € N: 1.2. Доказать следующие соотношения и проиллюстрировать их кругами Эйлера: . 1.3. Установить, в каком отношении (X С Y, X Э У или X = Y) находятся множества X и У, если: а Использовать для иллюстрации круги Эйлера. 1.4. Пусть Aj - множество точек, образующих стороны некоторого треугольника, вписанного в заданную окружность. Описать объединение и пересечение всех таких множеств, если треугольники: а) произвольные; б) правильные; в) прямоугольные. Найти IK и flAi ieN i en для заданных семейств множеств: 1.6. Указать, какие из представленных ниже соотношений неверны, и объяснить, почему: 1.7. Указать, какие из множеств равны между собой: . 1.8. Найти множества Ли В, АГ\В, А\В, В\А и изобразить их на числовой прямой, если А = (1.0. Считая отрезок универсальным множеством, найти и изобразить на числовой прямой дополнения множеств: . 1.10. По приведенным ниже описаниям множеств людей подберите для каждой записи высказывания на языке множеств подходящую пословицу или поговорку. Надеемся, что это позволит лишний раз проанализировать смысл народных изречений. Например, если Z -множество людей, которые сами как следует не знают того, о чем говорят, то запись х £ Z можно отнести к пословице „Слышал звон, да не знает, где он, поскольку именно так говорят о человеке, наделенном указанным свойством (в данном случае - характеристическим свойством множества Z, см. 1.1). Множества людей ft - универсальное множество всех людей, Л - добрые, 5е В - незаурядные, с большими способностями, С - глупые, D - умные, Е - поступающие по своему, не слушающие советов, F - связанные корыстными отношениями, G - много обещающие, Я - не выполняющие своих обещаний, J - злоупотребляющие своим служебным положением, К - слишком важничающие, задающиеся, L - вмешивающиеся не в свое дело, М - предприимчивые, ловкие, умеющие устраиваться, Р - берущиеся за несколько дел сразу, Q - плодотворно работающие, S - ошибающиеся, Т - чувствующие вину и возможность расплаты, U - не добивающиеся результатов, V - выдающие себя своим поведением, W- недальновидные, X - действующие заодно, не предающие друг друга, У - бывалые, опытные люди. Запись высказываний на языке множеств хеК; xeGnH; xCBCiQ; x£jr\U; xeJ; хеМ; хеСПЕ; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Пословицы и поговорки - Бодливой корове бог рог не дает. - Большому кораблю - большое плавание. - Вольному воля. - Ворон ворону глаз не выклюет. - Дуракам закон не писан. - За двумя зайцами погонишься, ни одного не поймаешь. - Знает кошка, чье мясо съела. - Знай сверчок свой шесток. - И на старуху бывает проруха. - Курице не тетка, свинье не сестра. - Кто смел, тот и съел. - На всякого мудреца довольно простоты. - Наделала синица славы, а море не зажгла. - Свет не без добрых людей. 1.11. Доказать справедливость соотношений (1.2). 1.12. Доказать справедливость второго из соотношений свойства дистрибутивности операций объединения и пересечения непосредственно и методом от противного. 1.13. Применив метод математической индукции, докаг -эать, что для любого натурального числа п справедливы неравенства п^2п~1 и (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 (неравенство Бернулли). 1.14. Доказать, что среднее арифметическое п положительных действительных чисел не меньше их среднего геометрического, т.е. п 1.15. Брауну, Джонсу и Смиту предъявлено обвинение в соучастии в ограблении банка. Похитители скрылись на поджидавшем их автомобиле. На следствии Браун показал, что это был синий „Бьюик", Джонс - голубой „Крайслер", а Смит - „Форд Мустанг", но не синий. Какого цвета был автомобиль и какой марки, если известно, что, желая запутать следствие, каждый из них указал правильно либо только марку машины, либо только ее цвет? 1.1в. Для полярной экспедиции из восьми претендентов А, В, С, Д J5, F, G и Я надо отобрать шесть специалистов: биолога, гидролога, синоптика, радиста, механика и врача. Обязанности биолога могут выполнять Е и G, гидролога - В и F, синоптика - F и G, радиста - С и Д механика - С и Я, врача - А и Д но каждый из них, если будет в экспедиции, сможет выполнять лишь одну обязанность. Кого и кем следует взять в экспедицию, если F не может ехать без D - без Я и без С, С не может ехать с G, а Д - с В?
Каждый предмет или явление обладает некими свойствами (признаками).
Получается, что составить понятие об объекте означает, прежде всего, умение отличить его от других сходных с ним объектов.
Можно сказать, что понятие - это мысленное содержание слова.
Понятие - это форма мысли, отображающая предметы в их наиболее общих и существенных признаках.
Понятие - это форма мысли, а не форма слова, так как слово лишь метка, которой мы помечаем ту или иную мысль.
Слова могут быть различны, но при этом обозначать одно и то же понятие. По-русски - «карандаш», по-английски - «pencil», по-немецки - bleistift. Одна и та же мысль в разных языках имеет разное словесное выражение.
ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ. КРУГИ ЭЙЛЕРА.
Понятия, имеющие в своих содержаниях общие признаки, называются СРАВНИМЫМИ («адвокат» и «депутат»; «студент» и «спортсмен»).
В противном случае, понятия считаются НЕСРАВНИМЫМИ («крокодил» и «блокнот»; «человек» и «пароход»).
Если кроме общих признаков понятия имеют и общие элементы объёма, то они называются СОВМЕСТИМЫМИ .
Существует шесть видов отношений между сравнимыми понятиями. Отношения между объёмами понятий удобно обозначать с помощью кругов Эйлера (круговые схемы, где каждый круг обозначает объём понятия).
| ВИД ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ПОНЯТИЯМИ | ИЗОБРАЖЕНИЕ С ПОМОЩЬЮ КРУГОВ ЭЙЛЕРА |
| РАВНОЗНАЧНОСТЬ (ТОЖДЕСТВЕННОСТЬ) Объёмы понятий полностью совпадают. Т.е. это понятия, которые различаются по содержанию, но в них мыслятся одни и те же элементы объёма. | 1) А - Аристотель В - основатель логики 2) А - квадрат В - равносторонний прямоугольник |
| ПОДЧИНЕНИЕ (СУБОРДИНАЦИЯ) Объём одного понятия полностью входит в объём другого, но не исчерпывает его. | 1) А - человек В - студент 2) А - животное В - слон |
| ПЕРЕСЕЧЕНИЕ (ПЕРЕКРЕЩИВАНИЕ) Объёмы двух понятий частично совпадают. То есть понятия содержат общие элементы, но и включают элементы, принадлежащие только одному из них. |  1) А - юрист В - депутат 2) А - студент В - спортсмен
|
| СОПОДЧИНЕНИЕ (КООРДИНАЦИЯ) Понятия, не имеющие общих элементов, полностью входят в объём третьего, более широкого понятия. |  1) А - животное В - кот; С - собака; D - мышь 2) А - драгоценный металл В - золото; С - серебро; D - платина
|
| ПРОТИВОПОЛОЖНОСТЬ (КОНТРАРНОСТЬ) Понятия А и В не просто включены в объём третьего понятия, а как бы находятся на его противоположных полюсах. То есть, понятие А имеет в своём содержании такой признак, которых в понятии В заменён на противополжный. |  1) А - белый кот; В - рыжий кот (коты бывают и чёрными и серыми) 2) А - горячий чай; холодный чай (чай может быть и тёплым) Т.е. понятия А и В не исчерпывают всего объёма понятия, в которое они входят.
|
| ПРОТИВОРЕЧИЕ (КОНТРАДИКТОРНОСТЬ) Отношение между понятиями, одно из которых выражает наличие каких-либо признаков, а другое - их отсутствие, то есть просто отрицает эти признаки, не заменяя их никакими другими. |  1) А - высокий дом В - невысокий дом 2) А - выигрышный билет В - невыигрышный билет Т.е. понятия А и не-А исчерпывают весь объём понятия, в которое они входят, так как между ними нельзя поставить никакое дополнительное понятие.
|
Упражнение : Определите вид отношений по объёму приведённых ниже понятий. Изобразите их с помощью кругов Эйлера .
 |
1) А - горячий чай; В - холодный чай; С - чай с лимоном
Горячий чай (В) и холодный чай (С) - находятся в отношении противоположности.
Чай с лимоном (С) может быть как горячим,
так и холодным, но может быть и, например, тёплым.
2) А - деревянный; В - каменный; С - строение; D - дом.
Всякое ли строение (С) - дом (D)? - Нет.
Всякий ли дом (D) - строение (С)? - Да.
Что-то деревянное (А) обязательно ли дом (D) или строение (С) - Нет.
Но можно найти деревянное строение (например, будка),
также можно найти деревянный дом.
Что-то каменное (В) не обязательно дом (D) или строение (С).
Но может быть и каменное строение, и каменный дом.
3) А - российский город; В - столица России;
С - Москва; D - город на Волге; Е - Углич.
Столица России (В) и Москва (С) - один и тот же город.
Углич (Е) является городом на Волге (D).
При этом, Москва, Углич, как и любой город на Волге,
являются российскими городами (А)
Разделы: Информатика
1. Введение
В курсе Информатики и ИКТ основной и старшей школы рассматриваются такие важные темы как “Основы логики” и “Поиск информации в Интернет”. При решении определенного типа задач удобно использовать круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна).
Математическая справка. Диаграммы Эйлера-Венна используются прежде всего в теории множеств как схематичное изображение всех возможных пересечений нескольких множеств. В общем случае они изображают все 2 n комбинаций n свойств. Например, при n=3 диаграмма Эйлера-Венна обычно изображается в виде трех кругов с центрами в вершинах равностороннего треугольника и одинаковым радиусом, приблизительно равным длине стороны треугольника.
2. Представление логических связок в поисковых запросах
При изучении темы “Поиск информации в Интернет” рассматриваются примеры поисковых запросов с использованием логических связок, аналогичным по смыслу союзам “и”, “или” русского языка. Смысл логических связок становится более понятным, если проиллюстрировать их с помощью графической схемы – кругов Эйлера (диаграмм Эйлера-Венна).
| Логическая связка | Пример запроса | Пояснение | Круги Эйлера |
| & - “И” | Париж & университет | Будут отобраны все страницы, где упоминаются оба слова: Париж и университет | Рис.1 |
| | - “ИЛИ” | Париж | университет | Будут отобраны все страницы, где упоминаются слова Париж и/или университет | Рис.2
|
3. Связь логических операций с теорией множеств
С помощью диаграмм Эйлера-Венна можно наглядно представить связь логических операций с теорией множеств. Для демонстрации можно воспользоваться слайдами в Приложение 1.
Логические операции задаются своими таблицами истинности. В Приложении 2 подробно рассматриваются графические иллюстрации логических операций вместе с их таблицами истинности. Поясним принцип построения диаграммы в общем случае. На диаграмме – область круга с именем А отображает истинность высказывания А (в теории множеств круг А – обозначение всех элементов, входящих в данное множество). Соответственно, область вне круга отображает значение “ложь” соответствующего высказывания. Что бы понять какая область диаграммы будет отображением логической операции нужно заштриховать только те области, в которых значения логической операции на наборах A и B равны “истина”.
Например, значение импликации равно “истина” в трех случаях (00, 01 и 11). Заштрихуем последовательно: 1) область вне двух пересекающихся кругов, которая соответствует значениям А=0, В=0; 2) область, относящуюся только к кругу В (полумесяц), которая соответствует значениям А=0, В=1; 3) область, относящуюся и к кругу А и к кругу В (пересечение) – соответствует значениям А=1, В=1. Объединение этих трех областей и будет графическим представлением логической операции импликации.
4. Использование кругов Эйлера при доказательстве логических равенств (законов)
Для того, чтобы доказать логические равенства можно применить метод диаграмм Эйлера-Венна. Докажем следующее равенство ¬(АvВ) = ¬А&¬В (закон де Моргана).
Для наглядного представления левой части равенства выполним последовательно: заштрихуем оба круга (применим дизъюнкцию) серым цветом, затем для отображения инверсии заштрихуем область за пределами кругов черным цветом:
Рис.3 
Рис.4 
Для визуального представления правой части равенства выполним последовательно: заштрихуем область для отображения инверсии (¬А) серым цветом и аналогично область ¬В также серым цветом; затем для отображения конъюнкции нужно взять пересечение этих серых областей (результат наложения представлен черным цветом):
Рис.5 
Рис.6 
Рис.7 
Видим, что области для отображения левой и правой части равны. Что и требовалось доказать.
5. Задачи в формате ГИА и ЕГЭ по теме: “Поиск информации в Интернет”
Задача №18 из демо-версии ГИА 2013.
В таблице приведены запросы к поисковому серверу. Для каждого запроса указан его код – соответствующая буква от А до Г. Расположите коды запросов слева направо в порядке убывания количества страниц, которые найдет поисковый сервер по каждому запросу.
| Код | Запрос |
| А | (Муха & Денежка) | Самовар |
| Б | Муха & Денежка & Базар & Самовар |
| В | Муха | Денежка | Самовар |
| Г | Муха & Денежка & Самовар |
Для каждого запроса построим диаграмму Эйлера-Венна:
| Запрос А | Запрос Б
|
Запрос В
|
Запрос Г
|
Ответ: ВАГБ.
Задача В12 из демо-версии ЕГЭ-2013.
В таблице приведены запросы и количество найденных по ним страниц некоторого сегмента сети Интернет.
| Запрос | Найдено страниц (в тысяч) |
| Фрегат | Эсминец | 3400 |
| Фрегат & Эсминец | 900 |
| Фрегат | 2100 |
Какое количество страниц (в тысячах) будет найдено по запросу Эсминец ?
Считается, что все запросы выполнялись практически одновременно, так что набор страниц, содержащих все искомые слова, не изменялся за время выполнения запросов.
Ф – количество страниц (в тысячах) по запросу Фрегат ;
Э – количество страниц (в тысячах) по запросу Эсминец ;
Х – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Фрегат и не упоминается Эсминец ;
У – количество страниц (в тысячах) по запросу, в котором упоминается Эсминец и не упоминается Фрегат.
Построим диаграммы Эйлера-Венна для каждого запроса:
| Запрос | Диаграмма Эйлера-Венна | Количество страниц |
| Фрегат | Эсминец | Рис.12
|
3400 |
| Фрегат & Эсминец | Рис.13
|
900 |
| Фрегат | Рис.14 | 2100 |
| Эсминец | Рис.15 | ? |
Согласно диаграммам имеем:
- Х+900+У = Ф+У = 2100+У = 3400. Отсюда находим У = 3400-2100 = 1300.
- Э = 900+У = 900+1300= 2200.
Ответ: 2200.
6. Решение логических содержательных задач методом диаграмм Эйлера-Венна
В классе 36 человек. Ученики этого класса посещают математический, физический и химический кружки, причем математический кружок посещают 18 человек, физический - 14 человек, химический - 10. Кроме того, известно, что 2 человека посещают все три кружка, 8 человек - и математический и физический, 5 и математический и химический, 3 - и физический и химический.
Сколько учеников класса не посещают никаких кружков?
Для решения данной задачи очень удобным и наглядным является использование кругов Эйлера.
Самый большой круг – множество всех учеников класса. Внутри круга три пересекающихся множества: членов математического (М ), физического (Ф ), химического (Х ) кружков.
Пусть МФХ – множество ребят, каждый из которых посещает все три кружка. МФ¬Х – множество ребят, каждый из которых посещает математический и физический кружки и не посещает химический. ¬М¬ФХ - множество ребят, каждый из которых посещает химический кружок и не посещает физический и математический кружки.
Аналогично введем множества: ¬МФХ, М¬ФХ, М¬Ф¬Х, ¬МФ¬Х, ¬М¬Ф¬Х.
Известно, что все три кружка посещают 2 человека, следовательно, в область МФХ впишем число 2. Т.к. 8 человек посещают и математический и физический кружки и среди них уже есть 2 человека, посещающих все три кружка, то в область МФ¬Х впишем 6 человек (8-2). Аналогично определим количество учащихся в остальных множествах:
Просуммируем количество человек по всем областям: 7+6+3+2+4+1+5=28. Следовательно, 28 человек из класса посещают кружки.
Значит, 36-28 = 8 учеников не посещают кружки.
После зимних каникул классный руководитель спросил, кто из ребят ходил в театр, кино или цирк. Оказалось, что из 36 учеников класса двое не были ни в кино. ни в театре, ни в цирке. В кино побывало 25 человек, в театре - 11, в цирке 17 человек; и в кино, и в театре - 6; и в кино и в цирке - 10; и в театре и в цирке - 4.
Сколько человек побывало и в кино, и в театре, и в цирке?
Пусть х – количество ребят, которые побывали и в кино, и в театре, и в цирке.
Тогда можно построить следующую диаграмму и посчитать количество ребят в каждой области:
|
|
В кино и театре побывало 6 чел., значит,
только в кино и театре (6-х) чел. Аналогично, только в кино и цирке (10-х) чел. Только в театре и цирке (4-х) чел. В кино побывало 25 чел., значит, из них только в кино были 25 - (10-х) – (6-х) – х = (9+х). Аналогично, только в театре были (1+х) чел. Только в цирке были (3+х) чел. Не были в театре, кино и цирке – 2 чел. Значит, 36-2=34 чел. побывали на мероприятиях. С другой стороны можем просуммировать количество человек, которые были в театре, кино и цирке: (9+х)+(1+х)+(3+х)+(10-х)+(6-х)+(4-х)+х = 34 Отсюда следует, что только один человек побывал на всех трех мероприятиях. |
Таким образом, круги Эйлера (диаграммы Эйлера-Венна) находят практическое применение при решении задач в формате ЕГЭ и ГИА и при решении содержательных логических задач.
Литература
- В.Ю. Лыскова, Е.А. Ракитина. Логика в информатике. М.: Информатика и Образование, 2006. 155 с.
- Л.Л. Босова. Арифметические и логические основы ЭВМ. М.: Информатика и образование, 2000. 207 с.
- Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ для 8 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 220 с.
- Л.Л. Босова, А.Ю. Босова. Учебник. Информатика и ИКТ для 9 класса: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 244 с.
- Сайт ФИПИ: http://www.fipi.ru/
