ЛЕКЦИЯ 10. ДИФФЕРЕНЦИАЛ ФУНКЦИИ. ТЕОРЕМЫ ФЕРМА, РОЛЛЯ, ЛАГРАНЖА И КОШИ.
1. Дифференциал функции
1.1. Определение дифференциала функции
С понятием производной теснейшим образом связано другое фундаментальное понятие математического анализа – дифференциал функции.
Определение 1. Функция y = f (x), определенная в некоторой окрестности точки x , называется дифференцируемой в точке x , если ее приращение в этой точке
y = f (x + x) − f (x)
имеет вид
y = A · x + α(Δx) · x,
где A – постоянная, а функция α(Δx) → 0 при x → 0.
Пусть y = f (x) – дифференцируемая функция, тогда дадим следующее определение.
Определение 2. Главная линейная |
часть A · x |
приращения |
функции f (x) |
|
называется дифференциалом функции в точке x и обозначается dy. |
||||
Таким образом, |
||||
y = dy + α(Δx) · x. |
||||
Замечание 1. Величина dy = |
x называется |
главной линейной частью |
||
приращения y в связи с тем, что другая часть приращения α(Δx) · |
x при малых |
|||
x становится гораздо меньше A · |
||||
Утверждение 1. Для того чтобы функция y = f (x) была дифференцируемой в точке x необходимо и достаточно, чтобы она имела в этой точке производную.
Доказательство. Необходимость. Пусть функция f (x) дифференцируема в точке
x + α(Δx) · x, при |
x → 0. Тогда |
|||||||||||
A + lim α(Δx) = A. |
||||||||||||
Поэтому производная f ′ (x) существует и равна A. |
||||||||||||
Достаточность. Пусть существует |
f ′ (x), т. е. существует предел lim |
F ′ (x). |
||||||||||
F ′ (x) + α(Δx), |
||||||||||||
y = f ′ (x)Δx + α(Δx) · x.
Последнее равенство означает дифференцируемость функции y = f (x).
1.2. Геометрический смысл дифференциала
Пусть l касательная к графику функции y = f (x) в точке M (x, f (x)) (рис. 1). Покажем, что dy величина отрезка P Q. Действительно,
dy = f ′ (x)Δx = tg α x = |
||||||||||||||||
" " l |
||||||||||||||||
"" " " |
||||||||||||||||
" α |
||||||||||||||||
Итак, дифференциал dy функции f (x) в точке x равен приращению ординаты касательной l в этой точке.
1.3. Инвариантность формы дифференциала
Если x независимая переменная, то
dy = f ′ (x)dx.
Допустим, что x = ϕ(t), где t независимая переменная, y = f (ϕ(t)). Тогда
dy = (f (ϕ(t))′ dt = f ′ (x)ϕ′ (t)dt = f ′ (x)dx (ϕ′ (t)dt = dx).
Итак, форма дифференциала не изменилась, несмотря на то, что x не является независимой переменной. Это свойство и называется инвариантностью формы дифференциала.
1.4. Применение дифференциала в приближенных вычислениях
Из формулы y = dy + α(Δx) · x, отбрасывая α(Δx) · x, видно, что при малых
y ≈ dy = f ′ (x)Δx.
Отсюда получим
f (x + x) − f (x) ≈ f ′ (x)Δx,
f (x + x) ≈ f (x) + f ′ (x)Δx. (1) Формула (1) и используется в приближенных вычислениях.
1.5. Дифференциалы высших порядков
По определению, вторым дифференциалом от функции y = f (x) в точке x называется дифференциал от первого дифференциала в этой точке, который обозначается
d2 y = d(dy).
Вычислим второй дифференциал:
d2 y = d(dy) = d(f ′ (x)dx) = (f ′ (x)dx)′ dx = (f ′′ (x)dx)dx = f ′′ (x)dx2
(при вычислении производной (f ′ (x)dx)′ учтено, что величина dx не зависит от x и, следовательно, при дифференцировании является постоянной).
Вообще, дифференциалом порядка n функции y = f (x) называется первый
дифференциал |
от дифференциала |
этой функции, который |
|||||||||||
обозначается через |
|||||||||||||
dn y = d(dn−1 y) |
|||||||||||||
dn y = f (n) (x)dxn . |
|||||||||||||
Найти дифференциал функции y = arctg x . |
|||||||||||||
Решение. dy = (arctg x)′ · dx = |
|||||||||||||
1+x2 |
|||||||||||||
Найти дифференциалы первого и второго порядков функции v = e2t . |
|||||||||||||
Решение. dv = 2e2t dt , d2 v = 4e2t dt2 . |
|||||||||||||
Сравнить приращение и дифференциал функции y = 2x3 + 5x2 . |
|||||||||||||
Решение. Находим |
|||||||||||||
5x2 = |
|||||||||||||
10x)Δx + (6x + 5)Δx |
|||||||||||||
dy = (6x2 + 10x)dx. |
|||||||||||||
Разность между приращением |
y и дифференциалом dy есть бесконечно малая высшего |
||||||||||||
порядка по сравнению с |
x , равная (6x + 5)Δx2 + 2Δx3 . |
||||||||||||
Пример 4. Вычислить приближенное значение площади круга, радиус которого равен 3, 02 м.
Решение. Воспользуемся формулой S = πr2 . Полагая r = 3 , r = 0, 02 , имеем
S ≈ dS = 2πr · r = 2π · 3 · 0, 02 = 0, 12π.
Следовательно, приближенное значение площади круга составляет 9π + 0, 12π = 9, 12π ≈
28, 66 (м 2 ).
Пример 5. Вычислить приближенное значение arcsin 0, 51 c точностью до 0,001. Решение. Рассмотрим функцию y = arcsin x . Полагая x = 0, 5 , x = 0, 01 и
применяя формулу (1)
x) ≈ arcsin x + (arcsin x)′ · |
(arcsin x)′ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
≈ arcsin 0, 5 + |
0, 011 = 0, 513. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
1 − (0, 5)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 6. Вычислить приближенно √ 3 |
c точностью до 0,0001. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Рассмотрим функцию y = √ 3 |
и положим x = 8, |
x = 0, 01. Аналогично |
||||||||||||||||||||||||||||||||
по формуле (1) |
(√ 3 x)′ = |
√3 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
√ x + x ≈ √ 3 x + (√ 3 x)′ · x, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
3√ 3 64 |
· 0, 01 = 2 + 3 · 4 · 0, 01 ≈ 2, 0008. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
p 8, 01 ≈ √ 8 + |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. Теоремы Ферма, Ролля, Лагранжа и Коши
Определение 3. Говорят, что функция y = f (x) имеет (или достигает) в точке α локальный максимум (минимум), если найдется такая окрестность U (α) точки α, что для всех x U (α) :
f (α) ≥ f (x) (f (α) ≤ f (x)).
Локальный максимум и локальный минимум объединяются общим названием
локальный экстремум.
Функция, график которой изображен на рис. 4, имеет локальный максимум в точках β, β1 и локальный минимум в точках α, α1 .
Утверждение 2. (Ферма) Пусть функция y = f (x) дифференцируема в точке α и имеет в этой точке локальный экстремум. Тогда f ′ (α) = 0.
Идея доказательства теоремы Ферма следующая. Пусть для определенности f (x) имеет в точке α локальный минимум. По определению f ′ (α) есть предел при x → 0 отношения
f (α + x) − f (α) |
||||
Но при достаточно малых (по абсолютной величине) x |
||||
f (α + x) − f (α) ≥ 0. |
||||
Следовательно, при таких |
x получаем |
|||
Отсюда и следует, что |
||||
f ′ (α) = lim g(Δx) = 0. |
||||
Проведите полное доказательство самостоятельно. |
||||
Утверждение 3. (Ролля) |
Если y = f (x) непрерывна на |
Дифференцируема на |
||
(a, b) и f (a) = f (b), то существует такая точка α (a, b), |
что f ′ (α) = 0. |
|||
Доказательство. По свойству функций, непрерывных на отрезке, найдутся такие точки x1 , x2 , что
экстремум. По условию теоремы f (x) дифференцируема в точке α. По теореме Ферма f ′ (α) = 0. Теорема доказана.
Теорема Ролля имеет простой геометрический смысл (рис. 5): если крайние ординаты кривой y = f (x) равны, то на кривой y = f (x) найдется точка, в которой касательная к кривой параллельна оси Ox.
Утверждение 4. (Коши) Пусть f (x), g(x) непрерывны на , дифференцируемы на (a, b) и g′ (x) =6 0 при любом x (a, b). Тогда найдется такая точка α (a, b), что
f ′ (α) |
|||
g′ (α) |
|||
Доказательство. Заметим, что g(a) =6 g(b). Действительно, в противном случае для функции g(x) были бы выполнены все условия теоремы Ролля. Следовательно, нашлась бы такая точка β (a, b), что g′ (β) = 0. Но это противоречит условию теоремы.
Рассмотрим следующую вспомогательную функцию:
F (x) = f (x) − f (a) − f (b) − f (a) (g(x) − g(a)). g(b) − g(a)
Функция F (x) непрерывна на , |
дифференцируема на (a, b). Кроме того, очевидно, |
|||||||||
что′ |
F (a) = F (b) = 0. Поэтому по теореме Ролля найдется такая точка α (a, b), что |
|||||||||
F (α) = 0, т. е. |
||||||||||
f ′ (α) |
g′ (α) = 0. |
|||||||||
− g(b) |
||||||||||
Отсюда следует |
||||||||||
f ′ (α) |
||||||||||
g′ (α) |
||||||||||
Теорема доказана.
Утверждение 5. (Лагранжа) Если y = f (x) непрерывна на , дифференцируема на (a, b), то найдется такое α (a, b), что
F ′ (α).
Доказательство. Теорема Лагранжа прямо следует из теоремы Коши при g(x) =
Геометрически теорема Лагранжа означает, что на кривой y = f (x) между точками
A и B найдется такая точка C, касательная в которой параллельна хорде AB. y
значениях x и ее значения на концах отрезка |
Равны: f (1) = f (5) |
||||||||
теорема Ролля на этом отрезке |
выполняется. Значение c |
определяем |
уравнения |
||||||
f ′ (x) = 2x − 6 = 0, т. е. c = 3. |
найти точку |
M, в которой |
|||||||
Пример 8. На дуге |
AB кривой y = 2x − x |
||||||||
касательная параллельна хорде |
|||||||||
Решение. Функция y = 2x −x |
непрерывна и дифференцируема при всех значениях |
||||||||
x. По теореме Лагранжа между двумя значениями a = 1, |
b = 3 существует значение |
||||||||
x = c, удовлетворяющее равенству y(b) − y(a) = (b − a) ·y′ (c), где y′ = 2 − 2x. Подставив соответствующие значения, получим
y(3) − y(1) = (3 − 1) · y′ (c),
(2 · 3 − 32 ) − (2 · 1 − 12 ) = (3 − 1) · (2 − 2c),
отсюда c = 2, y(2) = 0.
Таким образом, точка M имеет координаты (2; 0).
Пример 9. На дуге AB кривой, заданной параметрическими уравнениями
x = t2 , y = t3 , найти точку |
M, в которой касательная параллельна хорде AB, если |
|||||||||||||||||
точкам A и B соответствуют значения t = 1 и t = 3. |
||||||||||||||||||
Решение. Угловой коэффициент хорды AB равен |
А угловой коэффициент |
|||||||||||||||||
касательной в точке M (при |
t = c) равен |
y′ |
(c)/x′ |
x′ = 2t, |
y′ = 3t2 . Для |
|||||||||||||
определения c по теореме Коши получаем уравнение |
||||||||||||||||||
yt ′ (c) |
||||||||||||||||||
xt ′ (c) |
||||||||||||||||||
т. е. c = 13/6.
Найденное значение c удовлетворяет неравенству 1 < c < 3. Подставив значение t = c в параметрические уравнения кривой, получаем x = 169/36, y = 2197/216. Итак искомая точка M (169/36; 2197/216).
Определение дифференциала
Рассмотрим функцию \(y = f\left(x \right),\) которая является непрерывной в интервале \(\left[ {a,b} \right].\) Предположим, что в некоторой точке \({x_0} \in \left[ {a,b} \right]\) независимая переменная получает приращение \(\Delta x.\) Приращение функции \(\Delta y,\) соответствующее такому изменению аргумента \(\Delta x,\) выражается формулой \[\Delta y = \Delta f\left({{x_0}} \right) = f\left({{x_0} + \Delta x} \right) - f\left({{x_0}} \right).\] Для любой дифференцируемой функции приращение \(\Delta y\) можно представить в виде суммы двух слагаемых: \[\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right),\] где первый член (т.н. главная часть приращения) линейно зависит от приращения \(\Delta x,\) а второй член имеет более высокий порядок малости относительно \(\Delta x.\) Выражение \(A\Delta x\) называется дифференциалом функции и обозначается символом \(dy\) или \(df\left({{x_0}} \right).\)
Рассмотрим эту идею разбиения приращения функции \(\Delta y\) на две части на простом примере. Пусть задан квадрат со стороной \({x_0} = 1 \,\text{м}\,\) (рисунок \(1\)). Его площадь, очевидно, равна \[{S_0} = x_0^2 = 1 \,\text{м}^2.\] Если сторону квадрата увеличить на \(\Delta x = 1\,\text{см},\) то точное значение площади увеличенного квадрата будет составлять \ т.е. приращение площади \(\Delta S\) равно \[ {\Delta S = S - {S_0} = 1,0201 - 1 = 0,0201\,\text{м}^2 } = {201\,\text{см}^2.} \] Представим теперь это приращение \(\Delta S\) в таком виде: \[\require{cancel} {\Delta S = S - {S_0} = {\left({{x_0} + \Delta x} \right)^2} - x_0^2 } = {\cancel{x_0^2} + 2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} - \cancel{x_0^2} } = {2{x_0}\Delta x + {\left({\Delta x} \right)^2} } = {A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {dy + o\left({\Delta x} \right).} \] Итак, приращение функции \(\Delta S\) состоит из главной части (дифференциала функции), которая пропорциональна \(\Delta x\) и равна \ и члена более высокого порядка малости, в свою очередь, равного \[\omicron\left({\Delta x} \right) = {\left({\Delta x} \right)^2} = {0,01^2} = 0,0001\,\text{м}^2 = 1\,\text{см}^2.\] В сумме оба этих члена составляют полное приращение площади квадрата, равное \(200 + 1 = 201\,\text{см}^2.\)
Заметим, что в данном примере коэффициент \(A\) равен значению производной функции \(S\) в точке \({x_0}:\) \ Оказывается, что для любой дифференцируемой функции справедлива следующая теорема :
Коэффициент \(A\) главной части приращения функции в точке \({x_0}\) равен значению производной \(f"\left({{x_0}} \right)\) в этой точке, т.е. приращение \(\Delta y\) выражается формулой \[ {\Delta y = A\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right) } = {f"\left({{x_0}} \right)\Delta x + \omicron\left({\Delta x} \right).} \] Разделив обе части этого равенства на \(\Delta x \ne 0,\) имеем \[ {\frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} = A + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} } = {f"\left({{x_0}} \right) + \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}}.} \] В пределе при \(\Delta x \to 0\) получаем значение производной в точке \({x_0}:\) \[ {y"\left({{x_0}} \right) = \lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\Delta y}}{{\Delta x}} } = {A = f"\left({{x_0}} \right).} \] Здесь мы учли, что для малой величины \(\omicron\left({\Delta x} \right)\) более высокого порядка малости, чем \(\Delta x,\) предел равен \[\lim\limits_{\Delta x \to 0} \frac{{\omicron\left({\Delta x} \right)}}{{\Delta x}} = 0.\] Если считать, что дифференциал независимой переменной \(dx\) равен ее приращению \(\Delta x:\) \ то из соотношения \ следует, что \ т.е. производную функции можно представить как отношение двух дифференциалов.
Геометрический смысл дифференциала функции
На рисунке \(2\) схематически показана разбивка приращения функции \(\Delta y\) на главную часть \(A\Delta x\) (дифференциал функции) и член высшего порядка малости \(\omicron\left({\Delta x} \right)\).
Касательная \(MN\), проведенная к кривой функции \(y = f\left(x \right)\) в точке \(M\), как известно, имеет угол наклона \(\alpha\), тангенс которого равен производной: \[\tan \alpha = f"\left({{x_0}} \right).\] При изменении аргумента на \(\Delta x\) касательная получает приращение \(A\Delta x.\) Это линейное приращение, образованное касательной, как раз и является дифференциалом функции. Остальная часть полного приращения \(\Delta y\) (отрезок \(N{M_1}\)) соответствует "нелинейной" добавке с более высоким порядком малости относительно \(\Delta x\).
Свойства дифференциала
Пусть \(u\) и \(v\) − функции переменной \(x\). Дифференциал обладает следующими свойствами:
- Постоянный коэффициент можно выносить за знак дифференциала:
\(d\left({Cu} \right) = Cdu\), где \(C\) − постоянное число.
- Дифференциал суммы (разности) функций:
\(d\left({u \pm v} \right) = du \pm dv.\)
- Дифференциал постоянной величины равен нулю:
\(d\left(C \right) = 0.\)
- Дифференциал независимой переменной \(x\) равен ее приращению:
\(dx = \Delta x.\)
- Дифференциал линейной функции равен ее приращению:
\(d\left({ax + b} \right) = \Delta \left({ax + b} \right) = a\Delta x.\)
- Дифференциал произведения двух функций:
\(d\left({uv} \right) = du \cdot v + u \cdot dv.\)
- Дифференциал частного двух функций:
\(d\left({\large\frac{u}{v}\normalsize} \right) = \large\frac{{du \cdot v - u \cdot dv}}{{{v^2}}}\normalsize.\)
- Дифференциал функции равен произведению производной на дифференциал аргумента:
\(dy = df\left(x \right) = f"\left(x \right)dx.\)
Инвариантность формы дифференциала
Рассмотрим композицию двух функций \(y = f\left(u \right)\) и \(u = g\left(x \right),\) т.е. сложную функцию \(y = f\left({g\left(x \right)} \right).\) Ее производная определяется выражением \[{y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\] где нижний индекс обозначает переменную, по которой производится дифференцирование.
Дифференциал "внешней" функции \(y = f\left(u \right)\) записывается в виде \ Дифференциал "внутренней" функции \(u = g\left(x \right)\) можно представить аналогичным образом: \ Если подставить \(du\) в предыдущую формулу, то получим \ Поскольку \({y"_x} = {y"_u} \cdot {u"_x},\) то \ Видно, что в случае сложной функции мы получили такое же по форме выражение для дифференциала функции, как и в случае "простой" функции. Это свойство называется инвариантностью формы дифференциала .
24.1. Понятие дифференциала функции
Пусть функция у=ƒ(х) имеет в точке х отличную от нуля производную.
Тогда, по теореме о связи функции, ее предела и бесконечно малой функции, можно записать D у/D х=ƒ"(х)+α, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х.
Таким образом, приращение функции ∆у представляет собой сумму двух слагаемых
ƒ"(х) ∆х и а ∆х, являющихся бесконечно малыми при ∆x→0. При этом первое
слагаемое есть бесконечно малая функция одного порядка с ∆х, так как
а
второе слагаемое есть бесконечно малая функция более высокого порядка, чем ∆х:
Поэтому первое слагаемое ƒ"(х)· ∆х называют главной частью приращения функции ∆у.
Дифференциалом функции у=ƒ(х) в точке х называется главная часть ее приращения, равная произведению производной функции на приращение аргумента, и обозначается dу (или dƒ(х)):
dy=ƒ"(х) ∆х. (24.1)
Дифференциал dу называют также дифференциалом первого порядка. Найдем дифференциал независимой переменной х, т. е. дифференциал функции у=х.
Так как у"=х"=1, то, согласно формуле (24.1), имеем dy=dx=∆x, т. е. дифференциал независимой переменной равен приращению этой переменной: dх=∆х.
Поэтому формулу (24.1) можно записать так:
dy=ƒ"(х)dх, (24.2)
иными словами, дифференциал функции равен произведению производной этой функции на дифференциал независимой переменной.
Из формулы (24.2) следует равенство dy/dx=ƒ"(х). Теперь обозначение
производной dy/dx можно рассматривать как отношение дифференциалов dy и dх.
<< Пример 24.1
Найти дифференциал функции ƒ(х)=3x 2 -sin(l+2x).
Решение: По формуле dy=ƒ"(х) dx находим
dy=(3х 2 -sin(l+2x))"dx=(6х-2cos(l+2х))dx.
<< Пример 24.2
Найти дифференциал функции
Вычислить dy при х=0, dx=0,1.
Решение:
Подставив х=0 и dx=0.1, получим
24.2. Геометрический смысл дифференциала функции
Выясним геометрический смысл дифференциала.
Для этого проведем к графику функции у=ƒ(х) в точке М(х; у) касательную МТ и рассмотрим ординату этой касательной для точки х+∆х (см. рис. 138). На рисунке ½ АМ½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Из прямоугольного треугольника МАВ имеем:
Но, согласно геометрическому смыслу производной, tga=ƒ"(х). Поэтому АВ=ƒ"(х) ∆х.
Сравнивая полученный результат с формулой (24.1), получаем dy=АВ, т. е. дифференциал функции у=ƒ(х) в точке х равен приращению ординаты касательной к графику функции в этой точке, когда х получит приращение ∆х.
В этом и состоит геометрический смысл дифференциала.
24.3 Основные теоремы о дифференциалах
Основные теоремы о дифференциалах легко получить, используя связь дифференциала и производной функции (dy=f"(x)dx) и соответствующие теоремы о производных.
Например, так как производная функции у=с равна нулю, то дифференциал постоянной величины равен нулю: dy=с"dx=0 dx=0.
Теорема 24.1. Дифференциал суммы, произведения и частного двух дифференцируемых функций определяются следующими формулами:
Докажем, например, вторую формулу. По определению дифференциала имеем:
d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu
Теорема 24.2. Дифференциал сложной функции равен произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на дифференциал этого промежуточного аргумента.
Пусть у=ƒ(u) и u=φ(х) две дифференцируемые функции, образующие сложную функцию у=ƒ(φ(х)). По теореме о производной сложной функции можно написать
у" х =у" u u" x .
Умножив обе части этого равенства на dx, поучаем у" х dx=у" u u" х dx. Но у" х dx=dy и u" х dx=du. Следовательно, последнее равенство можно переписать так:
dy=у" u du.
Сравнивая формулы dy=у" х dx и dy=у" u du, видим, что первый дифференциал функции у=ƒ(х) определяется одной и той же формулой независимо от того, является ли ее аргумент независимой переменной или является функцией другого аргумента.
Это свойство дифференциала называют инвариантностью (неизменностью) формы первого дифференциала.
Формула dy=у" х dx по внешнему виду совпадает с формулой dy=у" u du, но между ними есть принципиальное отличие: в первой формуле х - независимая переменная, следовательно, dx=∆х, во второй формуле и есть функция от х, поэтому, вообще говоря, du≠∆u.
С помощью определения дифференциала и основных теорем о дифференциалах легко преобразовать таблицу производных в таблицу дифференциалов.
Например: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu
24.4. Таблица дифференциалов
24.5. Применение дифференциала к приближенным вычислениям
Как уже известно, приращение ∆у функции у=ƒ(х) в точке х можно представить в виде ∆у=ƒ"(х) ∆х+α ∆х, где α→0 при ∆х→0, или ∆у=dy+α ∆х. Отбрасывая бесконечно малую α ∆х более высокого порядка, чем ∆х, получаем приближенное равенство
∆у≈dy, (24.3)
причем это равенство тем точнее, чем меньше ∆х.
Это равенство позволяет с большой точностью вычислить приближенно приращение любой дифференцируемой функции.
Дифференциал обычно находится значительно проще, чем приращение функции, поэтому формула (24.3) широко применяется в вычислительной практике.
<< Пример 24.3
Найти приближенное значение приращения функции у=х 3 -2х+1 при х=2 и ∆х=0,001.
Решение: Применяем формулу (24.3): ∆у≈dy=(х 3 -2х+1)" ∆х=(3х 2 -2) ∆х.
Итак, ∆у» 0,01.
Посмотрим, какую погрешность допустили, вычислив дифференциал функции вместо ее приращения. Для этого найдем ∆у:
∆у=((х+∆х) 3 -2(х+∆х)+1)-(х 3 -2х+1)=х 3 +3х 2 ∆х+3х (∆х) 2 +(∆х) 3 -2х-2 ∆х+1-х 3 +2х-1=∆х(3х 2 +3х ∆х+(∆х) 2 -2);
Абсолютная погрешность приближения равна
|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.
Подставляя в равенство (24.3) значения ∆у и dy, получим
ƒ(х+∆х)-ƒ(х)≈ƒ"(х)∆х
ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)
Формула (24.4) используется для вычислений приближенных значений функций.
<< Пример 24.4
Вычислить приближенно arctg(1,05).
Решение: Рассмотрим функцию ƒ(х)=arctgx. По формуле (24.4) имеем:
arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,
т. е.
Так как х+∆х=1,05, то при х=1 и ∆х=0,05 получаем:
Можно показать, что абсолютная погрешность формулы (24.4) не превышает величины М (∆х) 2 , где М - наибольшее значение |ƒ"(х)| на сегменте [х;х+∆х].
<< Пример 24.5
Какой путь пройдет тело при свободном падении на Луне за 10,04 с от начала падения. Уравнение свободного падения тела
H=g л t 2 /2, g л =1,6 м/с 2 .
Решение: Требуется найти H(10,04). Воспользуемся приближенной формулой (ΔH≈dH)
H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. При t=10 с и ∆t=dt=0,04 с, H"(t)=g л t, находим
Задача (для самостоятельного решения). Тело массой m=20 кг движется со скоростью ν=10,02 м/с. Вычислить приближенно кинетическую энергию тела
24.6. Дифференциалы высших порядков
Пусть у=ƒ(х) дифференцируемая функция, а ее аргумент х - независимая переменная. Тогда ее первый дифференциал dy=ƒ"(х)dx есть также функция х; можно найти дифференциал этой функции.
Дифференциал от дифференциала функции у=ƒ(х) называется ее вторым дифференциалом (или дифференциалом второго порядка) и обозначается d 2 y или d 2 ƒ(х).
Итак, по определению d 2 y=d(dy). Найдем выражение второго дифференциала функции у=ƒ(х).
Так как dx=∆х не зависит от х, то при дифференцировании считаем dx постоянным:
d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(х)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 т. е.
d 2 y=ƒ"(х)dх 2 . (24.5)
Здесь dx 2 обозначает (dx) 2 .
Аналогично определяется и находится дифференциал третьего порядка
d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(х)dx 2)≈f"(x)(dx) 3 .
И, вообще, дифференциал n-го порядка есть дифференциал от дифференциала (n-1)-го порядка: d n y=d(d n-l y)=f (n) (x)(dx) n .
Отсюда находим, что, В частности, при n=1,2,3
соответственно получаем:
т. е. производную функции можно рассматривать как отношение ее дифференциала соответствующего порядка к соответствующей степени дифференциала независимой переменной.
Отметим, что все приведенные выше формулы справедливы только, если х - независимая переменная. Если же функцию у=ƒ(х), где х - функция от кαкой-mo другой независимой переменной , то дифференциалы второго и выше порядков не обладают свойством инвариантности формы и вычисляются по другим формулам. Покажем это на примере дифференциала второго порядка.
Используя формулу дифференциала произведения (d(uv)=vdu+udv), получаем:
d 2 y=d(f"(x)dx)=d(ƒ"(х))dx+ƒ"(х) d(dx)=ƒ"(х)dx dx+ƒ"(х) d 2 x, т. е.
d 2 y=ƒ"(х)dx 2 +ƒ"(х) d 2 x. (24.6)
Сравнивая формулы (24.5) и (24.6), убеждаемся, что в случае сложной функции формула дифференциала второго порядка изменяется: появляется второе слагаемое ƒ"(х) d 2 х.
Ясно, что если х - независимая переменная, то
d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0
и формула (24.6) переходит в формулу (24.5).
<< Пример 24.6
Найти d 2 y, если у=е 3х и х - независимая переменная.
Решение: Так как у"=3е 3х, у"=9e 3х, то по формуле (24.5) имеем d 2 y=9e 3x dx 2 .
<< Пример 24.7
Найти d 2 y, если у=х 2 и х=t 3 +1и t- независимая переменная.
Решение: Используем формулу (24.6): так как
у"=2х, у"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,
то d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2
Другое решение: у=х 2 , х=t 3 +1. Следовательно, у=(t 3 +1) 2 . Тогда по формуле (24.5)
d 2 у=у ¢¢ dt 2 ,
d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .
Дифференциальное уравнение
Дифференциальное уравнение - это уравнение, в котором свзяны между собой переменные, постоянные коэффициенты, искомая функция и производные от функции любого порядка. При этом максимальный порядок производной функции, который присутствует в уравнении, определяет порядок всего дифференциального уравнения. Решить диф уравнение - это определить искомую функцию, как зависимость от переменной.
Современные компьютеры позволяют решать сложнейшие диф уравнения численно. Нахождение же аналитического решения является сложной задачей. Существует множество типов уравнений и для каждого теория предлагает свои методы решения. На сайте сайт диф уравнения можно вычислять в режиме онлайн, причём практически любого типа и порядка: линейные дифференциальные уравнения, с разделяемыми или неразделяемыми переменными, уравнения Бернулли и т.д. При этом у вас есть возможность решать уравнения в общем виде или получить частное решение соответствующее введенным вами начальным (граничным) условиям. Мы предлагаем для решения заполнить два поля: само собственно уравнение и при необходимости - начальные условия (задачу Коши) - то есть информацию о граничных условиях искомой функции. Ведь как известно, диф уравнения имеют бесконечное количество решений, поскольку в ответе присутствуют константы, которые могут принимать произвольное значение. Задав задачу Коши, мы из всего множества решений выбираем частные.
Данный онлайн калькулятор разработан компанией WolframAlpha и позволяет решать как стандартные дифференциальные уравнения, так и уравнения, не имеющие стандартного подхода для решения.
